早在1931年，汤姆孙（发现电子的那个汤姆孙）就研究过涡线与电力线之间的关系[1]。当时他已经注意到了涡量、Lamb矢量与磁感应强度、电场强度的相似性，只不过那时 $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}$ 还不叫「Lamb矢量」。后来陆续还有不少学者将流体力学与电磁学进行过比较，其中Marmanis对Navier-Stokes方程与Maxwell方程作了较为全面的类比。具体推导过程可以参考他的博士论文[2]，我这里只列一下主要结果（并略作了改写）。对不可压流体，得够得到
$$\nabla\cdot\boldsymbol{\omega} = 0,$$
$$\boldsymbol{\omega}_t = -\nabla\times\mathbf{l}+\nu\nabla^2\boldsymbol{\omega},$$
$$\nabla\cdot\mathbf{l} = n,$$
$$\mathbf{l}_t = u^2(\nabla\times\boldsymbol{\omega}-\mathbf{j})+\nu\nabla n - \nu\nabla^2\mathbf{l} + \nu^2 \nabla^4 \mathbf{u}.$$
其中
$$n \equiv -\nabla^2 \Phi = -\nabla^2 \left( \frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}u^2 \right)$$
是「电荷密度」，
$$\mathbf{j} \equiv [\mathbf{u}n + \nabla \times (\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\omega}) \mathbf{u} + \omega \times \nabla( \Phi + \mathbf{u}^2 ) + 2( \mathbf{l} \cdot \nabla ) \mathbf{u}] / u^2$$
是「电流密度」。不考虑粘性的话，方程组简化为
$$\nabla\cdot\boldsymbol{\omega} = 0,$$
$$\boldsymbol{\omega}_t = -\nabla\times\mathbf{l},$$
$$\nabla\cdot\mathbf{l} = n,$$
$$\mathbf{l}_t = u^2(\nabla\times\boldsymbol{\omega}-\mathbf{j}).$$
其中的「电流密度」与「电荷密度」是turbulent source，地位有点类似于Lighthill声比拟理论中的Lighthill应力张量。我们能明显地看出这个方程组和Maxwell方程组之间的相似性，涡量类比于磁感应强度，Lamb矢量类比于电场强度：
$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0,$$
$$\mathbf{B}_t =-\nabla\times\mathbf{E},$$
$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0,$$
$$\mathbf{E}_t = c^2(\nabla\times\mathbf{B}-\mu_0\mathbf{J}).$$
在这个涡量－Lamb矢量方程组中，第一个方程（类比于高斯磁定律）直接源于涡量的定义，即涡量场与磁场都为无源场。第二个方程（类比于法拉第电磁感应定律）是NS方程的旋度，也就是涡量方程。第三个方程（类比于高斯定律）是N-S方程的散度。最后一个方程（类比于安培定律）要复杂些，需要对Lamb矢量求时间导数（$\mathbf{l}_t=\boldsymbol{\omega}_t\times\mathbf{u}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{u}_t$）后代入N-S方程与涡量方程。
我们还能发现电势 $\phi$、磁矢势 $\mathbf{A}$ 与 $\Phi$、$\mathbf{u}$ 间的关系：
$$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},\quad \mathbf{E}=-\nabla\phi-\mathbf{A}_t,$$
$$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u},\quad \mathbf{l}=-\nabla\Phi-\mathbf{u}_t.$$
而库仑规范 $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ 则相当于不可压缩流的连续性方程 $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$。
还有两点Marmanis没有提到的，我也一并写一下吧。一个是磁通量 $\Phi_B$ 与速度环量（涡通量） $\Gamma$ 间的类比：
$$\Phi_B = \iint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=\oint\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell},$$
$$\Gamma = \iint\boldsymbol{\omega}\cdot d\mathbf{S}=\oint\mathbf{u}\cdot d\boldsymbol{\ell}.$$
或许还可以类比电通量 $\Phi_E=\iint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}$ 定义一个Lamb通量 $\Gamma_{\mathbf{l}}=\iint\mathbf{l}\cdot d\mathbf{S}$。
另外，对静磁场与定常流动，磁矢势与速度矢量分别满足泊松方程
$$\nabla^2 \mathbf{A} = -\nabla\times\mathbf{B}= -\mu_0\mathbf{J},$$
$$\nabla^2\mathbf{u} = -\nabla\times\boldsymbol{\omega } = -\mathbf{j}.$$
用格林函数法解泊松方程，
$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d^3\mathbf{r}', \quad \mathbf{u}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d^3\mathbf{r}'.$$
再取旋度，得到
$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi}\int\frac{\mu_0 \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} d^3\mathbf{r}',$$
$$\boldsymbol{\omega}(\mathbf{r}) = \nabla\times\mathbf{u}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi}\int\frac{\mathbf{j}(\mathbf{r'})\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} d^3\mathbf{r}'.$$
前者就是电磁学中的Biot-Savart定律。注意上面的 [公式] 表达式并非流体力学中的Biot-Savart定律
$$\mathbf{u}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi}\int\frac{\boldsymbol{\omega}(\mathbf{r}')\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} d^3\mathbf{r}'.$$
这是由另一个关于速度矢量势（流函数）$\mathbf{u}=\nabla\times\boldsymbol{\psi}$ 的泊松方程 $\nabla^2\boldsymbol{\psi}=-\nabla\times\mathbf{u}=-\boldsymbol{\omega}$ 推出来的。
最后提一点无关的：其实早在汤姆孙之前两个世纪人们就已经把流体与电学联系在一起了，这还远在现代电磁学理论建立之前。18世纪至19世纪初科学界关于电的主流理论是所谓的「电流体理论」（fluid theory of electricity），即把电现象解释为电流体的运动。中文中的「电气」一词就是对「electric fluid」的翻译，可以参考几年前我回答过的一个问题：「电气」的「气」字是什么意思？出处是什么？。
J.J. Thomson (1931), On the analogy between the electromagnetic field and a fluid containing a large number of vortex filaments. ↩
Haralabos Marmanis (2000), Analogy between the Electromagnetic and Hydrodynamic Equations: Application to Turbulence. ↩